Ceci est un retour de correction sur l’exercice 3. Il est conseillé de le lire et de comprendre les différentes notions. Ceci ne remplace pas le corrigé, mais le complète à la lumière de vos réalisations.

Points généraux

Rien de nouveau ici, mais il semble être nécessaire de le rappeler.

• Il est important d’écrire des raisonnements structurés. Vous devez préciser d’où vous partez et expliciter toutes les étapes du raisonnement pour arriver au résultat qui vous intéresse.
• À chaque fois qu’une variable est utilisée, vous devez l’introduire, et vous devez absolument préciser si vous considérez :
  • un élément quelconque, dans ce cas, vous pouvez utiliser : (“Soit”, “On pose”, “On considère”, \forall…)
  • un élément particulier, dans ce cas vous pouvez utiliser : (“Il existe…”, \exists…). Attention, dans ce cas, généralement vous devez justifier qu’il en existe au moins un (dans certains cas ce n’est pas utile et dans certains cas c’est trivial, mais ce ne sont que des exceptions).
• Vous devez porter une grande attention à la logique de votre raisonnement. Pour démontrer une propriété, il est indispensable de ne pas l’utiliser dans la démonstration, c’est de la triche sinon (et formellement c’est un raisonnement circulaire, donc invalide).
• Attention à ne pas confondre les causes et les conséquences. La majorité des propriétés ne sont pas des équivalences. Si on a \mathcal P\Rightarrow \mathcal Q, alors ce n’est pas parce que \mathcal Q est vrai que \mathcal P l’est, on ne peut rien déduire sur \mathcal P.

Notations

Les notations de l’exercice seront utilisées, sans réintroduction.

De plus, afin de simplifier la rédaction, les notations suivantes seront utilisées pour les familles :

• \mathcal U=(u_1, \cdots, u_p)
• \mathcal V=(v_{p+1}, \cdots, v_r)
• \mathcal W=(w_{p+1}, \cdots, w_r)

Éléments inclassables

Privation entre s.e.v.

F\setminus G (ou F\setminus (F\cap G)) n’est jamais un e.v. (démonstration à la hache : 0\in G car G est un e.v., donc 0\notin F\setminus G, donc F\setminus G n’est pas un e.v.).

En conséquence, les raisonnements qui parlent d’une base de F\setminus G ou de F\setminus (F\cap G) sont des raisonnements faux, et même pire : ils n’ont aucun sens.

Différence entre s.e.v.

Pour F et G des s.e.v., on a donné un sens à F+G, ça serait tentant de donner un sens à F-G, on pourrait par exemple le définir comme le s.e.v. H tel que H+G=F… sauf que ça ne fonctionne pas, il y a plein de s.e.v. qui peuvent fonctionner.

Exemple : On se place dans \mathbb R^3, on définit 3 vecteurs :

\begin{align*} a&=(1,0,0)\\ b&=(0,1,0)\\ c&=(1,1,0)\\ \end{align*}

On montre facilement que si on pose H=\{(x,y,0)\colon x\in\mathbb R, y\in\mathbb R\}, on a :

\begin{align*} H=\operatorname{vect}(a)+\operatorname{vect}(b)\\ H=\operatorname{vect}(a)+\operatorname{vect}(c)\\ \end{align*}

Maintenant la question à 1000 francs, c’est que devrait valoir H-\operatorname{vect}(a) ?

• \operatorname{vect}(b)
• \operatorname{vect}(c)
• encore autre chose ?

Retour question par question

Question 1

Il s’agissait de montrer une propriété triviale. Beaucoup de copies ont utilisé la dimension, c’est un raisonnement invalide. En effet, avec A et B des s.e.v. d’un e.v. E, on a :

A\subset B \;\Longrightarrow\; \operatorname{dim}A\le\operatorname{dim}B

Mais la réciproque est fausse.

Ainsi utiliser \operatorname{dim}(F\cap G)<\operatorname{dim} F ne justifie en rien le fait que F\cap G\subset G.

Question 2

Il s’agissait dans cette question d’utiliser le théorème de la base incomplète. Il est à noter que quand vous utilisez un théorème, il convient absolument de :

• citer le théorème, soit en donnant son nom, soit en donnant son énoncé complet (ou les deux bien sûr)
• vérifier les hypothèses du théorème, ou justifier que les hypothèses du théorème sont vérifiées. Ici, il faut justifier que \mathcal{U} est une famille libre de F, il faut donc vérifier 2 points :
  • l’inclusion dans F, facile, car c’est une famille de F\cap G et que F\cap G\subset F.
  • la liberté, facile, car c’est une base de F\cap G. (il existe des formulations alternatives de ce théorème, elles sont bien entendues acceptées).

Ce qui était important dans cette question, c’est de justifier l’existence d’une telle base, c’est ce que permet le théorème. Tous les raisonnements qui commencent par la considérer sans justifier son existence sont des raisonnements qui ne répondent pas à la question.

Attention : Le théorème de la base incomplète ne nous dit pas que toutes les bases de F se mettent sous cette forme, il nous donne juste l’existence d’au moins une base se mettant sous cette forme. Les raisonnements qui disent donc “La base de F se met sous cette forme selon le th de la base incomplète” sont donc faux.

Question 3

Il s’agissait dans cette question de démontrer que \mathcal U\cup\mathcal V\cup\mathcal W était génératrice de F+G.

Pour le côté génératrice d’une famille, il est essentiel d’indiquer de quel espace. Une famille est toujours génératrice de son \operatorname{vect}(\cdot), mais ce n’est pas ça qui nous intéresse.

Pour répondre à cette question, vous devez partir d’un élément quelconque de F+G (cf. remarques générales) et montrer qu’il se décompose suivant la famille.

Tout raisonnement qui part d’autre chose est un raisonnement invalide.

Question 4

Dans cette question, il y a de nombreux points à revoir dans quasiment toutes les copies. Cette question est découpée en sous-questions, il n’est attendu aucune réponse à cette question (ou alors vous ignorez toutes les sous-questions et faites une démonstration complète du résultat sans le guide des sous-questions, mais si il y a des sous-questions, ce n’est que pour vous guider).

Cette question définissait \alpha, \beta et \gamma quelconques tels que :

\sum_{i=1}^p \alpha_iu_i + \sum_{i=p+1}^r \beta_iv_i + \sum_{j=p+1}^r \gamma_iw_i =0

À partir de maintenant ces valeurs sont définies, et on vous demande dans les 3 sous-questions suivantes de tirer des conclusions dessus. Vous ne pouvez pas changer la définition des \alpha, \beta et \gamma, et si vous le faites la conclusion que vous obtiendrez ne portera pas sur les \alpha, \beta, \gamma.

L’objectif des sous-questions était de démontrer dans un premier temps que \forall i,\; \gamma_i=0, puis ensuite de passer aux \alpha et \beta. Mais toujours avec ceux définis précédemment. Vous ne pouvez pas en changer la définition.

Exemple de raisonnement faux :

« \mathcal W est libre, donc \sum_{j=p+1}^r \gamma_iw_i=0\Rightarrow \forall i\gamma_i=0. » Cette phrase est parfaitement vraie, mais vous ne tirez pas une conclusion sur les \gamma que nous avons introduits, car soit

• vous avez changé la définition de \gamma en supposant \sum_{j=p+1}^r \gamma_iw_i=0
• soit vous voulez travailler avec le \gamma sans en changer la définition, et dans ce cas il faut montrer que \sum_{j=p+1}^r \gamma_iw_i=0.

À toutes fins utiles, il est important de rappeler que ce n’est pas parce que les sous-familles sont libres que la famille \mathcal U\cup\mathcal V\cup\mathcal W est libre. C’est encore une fois une inversion entre causes et conséquences… Il est vrai que :

\mathcal U\cup\mathcal V\cup\mathcal W\text{ libre}\;\Longrightarrow \left\{\begin{array}{c} \mathcal U\text{ libre}\\ \mathcal V\text{ libre}\\ \mathcal W\text{ libre}\\ \end{array}\right.

mais la réciproque est fausse, et les exemples de cette fausseté sont légions, et vous en avez vu en TD.

Question 5

Un point de détail, (non pénalisé) : la dimension d’une famille, ça n’a pas de sens. Pour parler du nombre d’éléments, on utilise le cardinal (\operatorname{card}). Par exemple, \mathcal U est une base de F\cap G, donc \operatorname{card}\mathcal U=\operatorname{dim}(F\cap G).